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Fluid Dynamics · Vortex Rings

閉じた流線が描く、渦のドーナツ

煙の輪、イルカが吐くバブルリング、キノコ雲。流体の中で渦は輪になり、まわりの流体を抱えたまま進みます。数式で組んだ速度場の中に粒子を流して、その構造を確かめてください。断面図をタップすると、その場所に染料を落とせます。

渦と一緒に動く視点
ドラッグで回転
断面図(子午面)
タップで染料を落とす

速度場を設計する

ゼロなら流線は断面内の閉曲線。加えると、トーラス面に巻きつくらせんになる
細いほど輪は速く進む(ケルビンの式)
変更すると最初からやり直します

渦はなぜ輪になるのか

ヘルムホルツの渦定理によれば、粘性のない流体の中で渦線は途中で途切れることができません。端は壁や水面につくか、自分自身とつながって閉じた輪になるしかありません。煙の輪やバブルリングはその姿です。

流れ関数で速度場を組む

軸対称な流れは、ひとつの関数 ψ(ストークスの流れ関数)から速度を求めると、自動的に「どこでも湧き出しも吸い込みもない」流れになります。ψ が一定の線がそのまま流線です。ヒルの球形渦の内側では次の形をしています。

ψ = (3U/4) r² (1 − (r²+z²)/a²)

輪はなぜ進むのか

渦輪の各部分は、輪の反対側がつくる流れに押されて全体として前に進みます。2つの輪を並べると、後ろの輪は前の輪の流れですぼまって加速し、前の輪は広がって減速します。こうして中をくぐり抜け合うのが「馬跳び」です。

U ≈ Γ/(4πR) · (ln(8R/a) − 1/4)

粘性のない理想流体のモデルで、長さと時間は無次元(球の半径や輪の半径を 1)にしています。現実の流体では粘性で渦が少しずつ太り、馬跳びは数回で崩れることが多くなります。旋回成分は見やすさのために設計した形で、特定の厳密解ではありません。

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