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Spontaneous Synchronization · Kuramoto Model

バラバラのリズムが、ひとつになる

動く台に載せた100台のメトロノーム。はじめは思い思いのタイミングで振れていますが、台のわずかな揺れを通じて影響し合い、やがて足並みがそろいます。台の動きやすさ(結合の強さ)を変えて、無秩序から秩序が生まれる瞬間を確かめてください。

メトロノームをクリックすると、その1台を乱せます
バラバラ
PHASE ALIGNMENT 位相の揃い具合 0.0%

位相の円

実験条件

Kc
緑の線が臨界値 Kc。これを超えると同期が始まる

揃い具合の記録 r(t)

経過 0 sKc 0.25K / Kc 1.690%到達 —

なぜ自然に揃うのか

振り子が振れるたび、その反動で台がわずかに左右へ動きます。台の揺れはすべてのメトロノームに伝わり、遅れている振り子は少し押され、進んでいる振り子は少し引き戻されます。小さな調整の積み重ねで、全体のリズムがそろっていきます。

蔵本モデル

1975年に物理学者の蔵本由紀が提案したモデルです。各振動子の位相 θ は、自分本来の速さ ω で進みながら、仲間との位相差に応じて引き寄せられます。揃い具合 r は全員の位相の平均で測ります。

dθᵢ/dt = ωᵢ + (K/N) Σ sin(θⱼ − θᵢ)
r e^{iψ} = (1/N) Σ e^{iθⱼ}

しきい値がある

結合が弱いうちは、ばらつきに負けて r はほぼ 0 のままです。ところが K が臨界値 Kc を超えたとたん、一部が集団をつくり、仲間を引き込んで一気に揃います。テンポのばらつきが大きいほど Kc も大きくなります。

Kc = 2 / (π g(0)) (g はテンポの分布)

自然界の同期

  • ホタル:東南アジアでは木いっぱいのホタルが一斉に点滅する
  • 心臓:洞結節のペースメーカー細胞がそろって拍動を生む
  • 脳:神経細胞の集団に同期したリズム(脳波)が現れる
  • レーザー:位相のそろった光を生み出す
  • 拍手:大勢の拍手が自然にそろうこともある

この画面は、台を通じた力学的なつながりを蔵本モデル(平均場で結合した位相振動子)で近似したものです。台の揺れは振り子全体の重心の動きから描いています。実際のメトロノームは、テンポの差、台の重さや転がりやすさ、摩擦などの条件しだいで同期しなかったり、半周期ずれた「逆位相」でそろったりすることもあります。

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